マックの裏メニューがトッピング100種類から100個まで自由に選べるとすると1.3那由他くらい組み合わせがあるのではないか？

» 2016/06/14

日本マクドナルドが285通りの楽しみ方ができる“マックの裏メニュー”を始めるそうです。

“マックの裏メニュー”登場！ 6月15日（水）から全国のマクドナルド店舗で期間限定販売

マクドナルド、定番バーガーに“裏メニュー”　285通りのオリジナルバーガーも

【前提となるルール】

この285通りというのは3種類のトッピングから、最大3種類（1つ指定の場合の3通り、2つ指定の場合の6通り、3つ指定の場合の10通り）を足した19通りに、バーガー15種類を乗算することで285となるようです。
このとき、2つ指定や3つ指定の場合に、同じものを重複して頼んでも良いルールです。（ハラペーニョの増し増し、スモークベーコンの増し増し増し、など）
トッピング無しは考慮しません。

【基本となる計算方法】

その組み合わせの計算は、2種類や3種類の場合に同じものを重複して頼んでも良いルールのためいわゆるCombinationでなくてHomogenizationのほうで計算することになります。

とすると、式はこうなります。

imgtemp_xqq26r-1 (1)

HomogenizationをCombinationに変換する公式

imgtemp_4jsbsw-1 　・・・(2)

がありますのでこれを当てはめると

imgtemp_ntsy8d-1

単純に足し算部分を計算して

imgtemp_cbum0a-1

これくらいならば高校の数学で習ったとおりですがExcelに任せるとこうなります。combinというのはExcelの関数名です。

この19通りに対して元のバーガーの種類が15種類なので15*19=285通りというわけですね。

なお組み合わせが最大3つということでExcelでも3行＋合計行の4行だけで済み、連続コピーを使えば簡単に計算できます。

ただこれがトッピング10種類やそれ以上となると面倒です。そんな時にこの公式を使ってみましょう。重複組合せの総和の公式です。

imgtemp_y51eqi-1 ・・・(3)

これはn種類のトッピングから最大でr個まで重複を許して選んでも良い（ただし1つも選ばないというのはダメ）という意味の式となります。3種類(n=3)から3個まで(r=3)という条件ですと、(1)の式を経由せずとも(3)の式となり、(2)を当てはめればこのようになります。

imgtemp_6ca8sr-1

簡単すぎて嘘のようですが、以下の様にExcelのcombin関数で計算してみると

math_table1

ということで、きちんと19となりました。（タイトル行のD-1列のDとはExcel上のD列の値である20から1引くことを意味しています。）

【条件の拡張その1　最大3つまでの制約あり】

あとは条件を変えてみたいと思います。オリジナルのトッピングで設定されているのはこの3種類。

top1

「ピリリと辛いスライスしたハラペーニョ」

top2

「濃厚なクリームチーズソース」

「香ばしい味わいのスモークベーコン」

これが4種類、5種類と増えたらどうなるでしょうか？

まずトッピングできるのが上限3個という条件を変えずにトッピング種類（n)の列だけを増やします。Excelで表を作るとこのようになりました。

math_table2

20種類まで増やしても、3個までしか選べない場合の重複組合せは2万6550通り（トッピングのみで1770通り）という範囲に収まっています。

なお1000種類まで増やしたとしても2,515,027,500とのこと。25億通りですね。（トッピングのみで167,668,500通り）

【条件の拡張その2　トッピング個数はトッピングの種類と同じ数までOK】

ここまで考えると気になってくるのはひとつ。n種類のトッピングがあるのですから、消費者として選択する権利もn個まであるべきです。元の命題が3種類から3個までなのですからそれが当然の心理というものでしょう。4種類なら4個まで、5種類なら5個まで。野菜マシマシ・ニンニク・アブラ・カラカラ、ですとか、野菜マシマシマシマシマシが許容される世界です。（アブラ増し、などの1種類トッピングも依然としてOKです。）このとき表はnの列だけでなくrの列も増やしてこのように変わります。

burg_table2