LLMとのモノローグ：64ビトは43億✕43億通り

Me: 2の64乗（64bit）は十進法で表示すると10の何乗くらいになりますか？

ChatGPT: 2の64乗を十進法で表示すると、概算で10の19乗に近い値になります。

実際の値を計算すると、18,446,744,073,709,551,616

この値は約1.8447✕10の19乗に相当します。

Me: モル数で表現すると、3掛ける10のマイナス5乗モルくらいですか？

ChatGPT: 興味深い観点ですね！

モル数に換算する場合、次のように計算します。

1モルはアボガドロ数（6.022✕10の23乗）の粒子数を表します。
したがって2の64乗をモルに変換するには、これをアボガドロ数で割ります。

計算すると：約3✕10のマイナス5乗モルと表現できます。かなり小さなモル数ですね！

Me: 2の32乗（32bit）を十進法で表示すると？

ChatGPT: 2の32乗を十進法で計算すると、4,294,967,296

つまり、約43億です。この値は、32ビットの符号なし整数で表現できる最大値です。

Me: 64bit（2の64乗）を十進法で表示すると、43億（2の32乗）の2乗くらいですか？

ChatGPT: はい、その通りです！

十進法で表すと、
4,294,967,296✕4,294,967,296=18,446,744,073,709,551,616

となり、これは約1.8✕10の19乗ですね。
つまり、43億の2乗くらいという感覚は非常に正確です！

Me: 浮動小数点32bitで表現できる変数の数、つまり何通りの異なる値を入力あるいは出力することができますか？

ChatGPT: 浮動小数点32ビット（単精度浮動小数点、IEEE 754規格）で表現できる異なる値の総数を考えてみましょう。

1. 32ビットの内訳

IEEE 754の単精度浮動小数点は、以下のように構成されています：

1ビット: 符号ビット（正/負の判定）
8ビット: 指数部（バイアス127）
23ビット: 仮数部（実際には隠れた1を含むので24ビット相当）

2. 値の種類

浮動小数点の表現できる値には、以下のようなものがあります：

正規化数（Normalized Numbers）

指数部が1から254の範囲にある値（合計254通り）
各指数について仮数部は2の23乗通り（1の隠れたビットを含めると24ビット相当）
合計：254✕2の23乗通り

非正規化数（Denormalized Numbers）

指数部が0の場合（隠れた1なし）
仮数部は2の23乗通り
合計：2の23乗通り
ゼロ（0）

符号付きで+0と-0の2通り
無限大（Infinity, ±∞）

指数部が255で仮数部が0の場合
+∞と-∞の2通り
NaN（Not a Number）

指数部が255で仮数部が1以上の全ての値
合計：2の23乗-1通り

3. 総数の計算

正規化数：254✕2の23乗通り
非正規化数：2の23乗通り
ゼロ：2
無限大：2
NaN：2の23乗-1

これらを合計すると：2,155,872,259
つまり、浮動小数点32ビットで表現できる異なる値の総数は約21億5千万通りになります。

Me: それは、直感的には、32bitで表現できる十進法の数の半分ですが、そこに何か数学的な根拠がありますか？

ChatGPT: IEEE 754 の単精度浮動小数点（32ビット）で表現できる異なる数の総数（約21.6億）が、整数の32ビット（約43億）のほぼ半分になっているのは、

・指数部の影響で数値の密度が変わること
・ゼロ、無限大、NaN などの特別な値があること

が主な数学的要因です。

直感的に「半分」に見えるのは、整数がすべてのビットをそのまま使えるのに対し、浮動小数点は指数と仮数の組み合わせで広い範囲を表現するため、整数のように密な値の分布にはならない ことが大きな理由です。

Me: ということは、整数の32bitの約半分のように思えるのは「数学的に半分」になる理由や原因があるのではなく、偶然に約半数であったということですね。

ChatGPT: まさにその通りですね！

整数の32ビット（約43億通り）と、浮動小数点32ビット（約21.6億通り）が「約半分」に見えるのは、数学的に厳密な「半分」ではなく、たまたま近い値になったということです。

つまり、「約半分」なのは、IEEE 754の構造上の影響（指数・仮数・特別な値の存在など）の結果であり、意図的に整数の半分になるように設計されたわけではないということですね。

直感的に「半分くらい」と感じるのは、整数がすべてのビットをそのまま数値に使えるのに対し、浮動小数点は指数部や特殊値の影響で、実際に使える数値の総数が減るためです。しかし、それがちょうど半分になる数学的な必然性はなく、単なる設計上の結果として「たまたま半分くらいになった」ということになります。

Me: たとえば、31bitで表現できる十進法の数に相当するというわけではないのですね。

ChatGPT: そうですね！整数の31ビットに相当するというわけではありません。

整数の 31ビット（符号なし）では、約21.5億通りの値を均一に表現できます。しかし、浮動小数点32ビットの場合、指数部や特殊値の影響で、整数のように均一な分布ではなく、広範囲の数値を表現するための設計になっています。

・整数の31ビットなら、連続した21.5億個の数を均等に表せる
・浮動小数点32ビットでは小さい数ほど密度が高く、大きい数ほど疎になる非線形な分布

という違いがあります。

したがって、浮動小数点32ビットの異なる値の総数が「31ビットに近い」ことは単なる偶然の一致であり、本質的には異なる性質のものですね！

Me: 人生で二者一択の選択の機会が64回あったとすると、潜在的には選択肢が64ビット分あったことになりますね。

ChatGPT: そうですね！
人生で 二者択一の選択肢が64回あったとすると、それぞれの選択で2通りあるので、
2の64乗＝18,446,744,073,709,551,616

つまり、約1.8✕10の19乗通りの人生の可能性があったことになります。

こう考えると、一見些細な選択も積み重なることで 膨大な可能性を生み出している というのが実感できます。

しかも、これは単純に二者択一の場合なので、実際の人生の選択肢は三択や四択、無数の微妙な判断を含むため、可能性の数はさらに増えますね。

人生の「選択の幅」を考えると、まさに無限の枝分かれを持つ巨大な決定木のようです。

When I'm Sixty-Four♪