あるいはファシリテーションが得意なコンサルタントによるノウハウとか失敗とか教訓とか

6×8は正解でも8×6はバッテン?あるいは算数のガラパゴス性

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★僕にも解けない算数の問題
僕はブログにはプロジェクトワーク以外のことは書かないことにしていたのだが、あまりに憤慨したのでちょっと聞いて欲しい。写真は、娘(2年生)の算数のテスト。

Photo
8人にペンをあげます。1人に6本ずつあげるには、ぜんぶで何本いるでしょうか。

ご覧のように、「8×6」だとバッテンで、「6×8」だと正解らしい。何じゃこりゃ。僕がテストを受けたとしても「8×6」と書く。だって問題文はその順番に書いてあるから。
さらに答の48本もバツ。丁寧に赤ペンで48本と直してくれている。さらに意味不明。

★娘にヒアリングしてみた

「何でバッテンだったか、先生説明してくれた?」
「単位が違うと、式の順番が違うんだって」
「? 意味分かる?」
「全然分かんない」

「じゃあ・・ウサギには2本の耳がある。ウサギは4羽いる。耳は全部で何本?」
「ずつ、が入ってないからどっちが先か分かんない。答えは8本だけど」
「じゃあ・・ウサギには2本ずつ耳がある、だったら?」
「それなら、2×4=8本」

「ずつ」がある方を先に書く、と覚えている訳です。
うーむ、教育上じつによろしくない状況ですな。

★かけ算では書く順番が大事??
不思議に思って「かけ算 順序」などでWebを検索してみたところ、状況が見えてきた。
・どうやら今の小学校では、かけ算の記述順にこだわりがあるらしい
・こだわりの順序とは逆に書くと、×にする教師が多い
・当然ながらそれについては論争があり、×にすることに対してナンセンスという意見もある

赤ペン先生で有名なベネッセが「かけ算の順番が逆だったらバツにすべきだよ派」らしいので紹介したい。

かけ算の式は「一つ分の数」×「いくつ分」の順に書く約束になっているので、問題文から正しく読み取って、その通りに式をかけるようにしましょう。小学校では、式の意味を理解することが大切なので、このような約束があります。

どうやら、
「6×8」と書くと「6本×8人」を意味するのだが、
「8×6」と書くと「8本×6人」を意味することになってしまうのでNG
ということらしい。

僕はこれを読んで益々考え込んでしまった。そもそもこんな約束あったっけ?わり算だったら、書く順番は大事だ。でも、かけ算にはどうでもよくね?
日々かけ算を使っている僕ら大人が知らなくても困らない「約束」って、存在意味があるのだろうか?
そしてこの「約束」に従って採点することは、数学的にどうなんだろうか??

★反論その1:  a×b = b×a

数学では「a×b = b×a」であって、「a×b ≠ b×a」ではない。
よって「6×8」が正解ならば「8×6」をバツにするのは誤り。

正直、これ以上なにも言う必要がないと思う。学校で間違ったことを教えてはいけません。以上。ただ、さすがに娘の担任もこれは知った上でバツを付けているだろうから、もう少し反論を続けたい。

★反論その2:教え方に引きずられた正否判断はアリか?
「6×8はバツだよ派」の主張をいくつか読んでいくと、小学生に算数をキチンと理解させるためにはバツにすべき、と真摯に考えていることが分かってきた。

・「掛けられる数」と「掛ける数」があるし、その区別は重要
・それが分かっていないと、算数を理解していく上でつまずいてしまう
・だから文章題の式を書かせる時に順番をチェックすることで、理解を確認しよう
という考え方。

かけ算を教える時に
・「掛けられる数」と「掛ける数」があるよ
・「掛けられる数」×「掛ける数」の順番に書こうね
と教えるのは、別にかまわないと思う。長年7歳児に教えてきた上での職業ノウハウの一つなのだろうから。

ただその結果、数学的に誤っている採点するのはマズイだろう。a×b ≠ b×aは明らかに間違いなのだから。

教え方というのはいわば「便宜上のノウハウ」であり、技術的な問題である。ノウハウを使うために、結果的に誤ったことを教えるのは、本末転倒。

★反論その3:理想に技術が追いつかない時の対処
元々は上記のように「理解できているかチェックし、理解が間違っていたら正す」ことを目的として「8×6」をバッテンにしているはずだ。だが実際に娘に聞いてみても、なぜ自分がバッテンにされたかを理解していない。

掛ける数と掛けられる数の違いを理解させようという理想?を追求した結果、益々混乱させているんではないだろうか。混乱させるくらいなら、素直にそれを認めて、「8×6」を○にするのもアリなのではないか。学習指導要領的にはそう言う考え方は言語道断なのだろうが。

★反論その4:言語に頼らないことが数学のパワーの源泉
上手く説明できないのだが、「掛ける数」とか「いくつ分」とかって、とても言語依存的な議論だと思うんだよね。
娘が「ずつ」という言葉がある方を先に書くと覚えていたのはそのいい例。

世の中を発展させるスーパーテクノロジーに数学がなり得たのは、世界のありようを言葉を使わずに表現できるからだったと思うのだ。そこには解釈やらニュアンスやら意志やらが介在する余地がない。客観的な記述。

数学というツールを日本の小学生が使っても、アルキメデスが使っても、NASAで軌道計算をしている技術者が使っても真理は一つ、ということが数学のすさまじさなのだ。
それに対して、「掛けられる数を先に書こう」というのは、極めてガラパゴス的な「約束」だと思う。

「6×8はバツだよ派」の方は、こんな感じに考えているような気がする。

ペンを配るという事象

それを記述した日本語の文章(ここに「ずつ」とか書いてある)

数式

回答

でも、本来は「ペンを配るという事象を数式でこう表現する」と直結している方が数学っぽい。

ペンを配るという事象

数式

回答

僕自身は、かけ算する際に「掛ける数」「掛けられる数」は全く意識していない。そもそもそんなモノあるの?という感じ。

例えば↓の図で●の数を数える時は、掛ける数も掛けられる数もない。
●●●●
●●●●
●●●●
この場合は3×4と4×3、どっちが正解なんだろうか?
それとも「行が掛けられる数だから、3を先に書く」とかの約束が、僕が知らないだけで実はあったりするのか?

結局、写真のテストの問題で、「8×6」という式はバッテンにするべきなのだろうか・・
僕はバッテンにするのはとんでもないと思うけれども、皆さんはどう思います?

★2011/12/23追記(先にコメント欄に書いたものです)


先ほどお風呂で娘が頼みもしないのにレクチャー
してくれましたので、ご報告しておきます。

1)
「先に書いた数字の単位が答えの単位になるんだよ。
チョコが7個で配るのが2人なら、7×2で答えは14個でしょ。
2×7なら14人になっちゃうでしょ。」

⇒がーん。コメントで多くの方が指摘されていた誤った理解ですねぇ。
「先に書いた単位が答えの単位」という以前に、
14あるのは人じゃなくてチョコでしょ・・

2)
「式が間違ってたら(逆に書いたら、という意味)、答えもバツにするぞー」
って先生に言われた。

⇒コメント欄でこの問題を詳しく調べている方が
 「答えがバツなのは初めての例」
 と書かれていましたが、なんと確信犯だったんですね~。
 娘の担任に「あなた、時代の最先端行ってるみたいですよ」と教えてあげたい。
 教えないけど。

あまりのインパクトに、そしてみなさんにいろいろ教えてもらったことで
頭がいっぱい過ぎて即座に反論ませんでした。
仕方がないので、娘とは「5年後にもう一度この問題を語り合おう」と約束しました・・。

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Comment(87)

コメント

kitakaze

こういう教師他にも居たんですね。
私の息子も直方体の体積を求めるテストで、似たようなケースでバツをもらってきた事があります。
息子曰く、直方体の体積は縦×横×高さなので、この順番をきっちり守って式を作らないとバツだという事だそうです。
息子にはそっちの方が間違いで、どっちでも結果は一緒である事を話したら「え!そうなの?」と言ってました。

テスト上の図ではどの辺を縦とするかという定義がないので、「社内通念上、パッと見でここが縦」と判断せざるを得ません。
しかし定義の有無はこの件に関する反証の為の屁理屈でしかなく、物体の体積というものはどういうものかという事が理解できていれば、どこが縦で、どこが高さだろうがどうだっていいはずです。

どうしてこういう「木を見て森を見ず」という感じの授業になってしまうのでしょうか。。。
彼ら教師は、本当に子供達に分かって欲しい、理解してほしいと思っているのでしょうかね。

こんな教え方されたら、数学や物理の公式の意味を知るという作業が全くできなくなってしまうと思いますし、長い目で見れば「教えてもらってないからできない」につながって行ってしまうような気がしてなりません。

kitakazeさん、こんにちは。
「木を見て森を見ず」同感です。数学や物理の公式って、どっちが縦とか横とかを越えたすごみがあると思うんですよね・・。
先生個々の方針というよりも、全体としてお触れがでている感じですねぇ。僕も「本当は○なんだよ。アメリカでも中学校でも○だよ」と言いましたが・・。
「学校で教わることは100%正しいとは限らない」というのはいずれ知るべきですが、小学校二年生では早すぎる気がして、ちょっと迷いました。

木村祥久

数学に自然言語依存の約束事を持ち込む愚かさ。

大衆操作し易い成人を育成するため、子どもに固定観念を植え付ける教育方針なんだろうね。

通り過ぎ

そこまでひどい教育だとは思いません。
いろいろ賛否の議論があるのは調べてわかりましたが、この教え方にも一理あると思います。
自分の40年以上前の記憶ではありますが、このあたりで「単位」というものの感覚を覚えた気がします。
(低学年の)掛け算の場合、先に書いた数の単位が変わらず、答えの単位になるって教わった覚えがあります。

この時期に覚える算数は「単位」の変化のないものだと思います。
足し算は同じ単位のものしか足せません。(cm+kgというのは無意味)
掛け算は、小学校低学年では、「単位の変化のない」範囲で覚えます。(本×○=本)
その後、単位が変化する掛け算(cm×cm=平方cm)を覚えますが、まだこの時期には出てきません。
「数字には『単位』というものがあって、それを意識しないと正しく計算できない」っていうことを徐々に感覚的に覚えていく時期だから、順番にこだわった教え方をしているというのは、方法としてなるほどとも思いました。
もちろん、その後、例えば中学になれば正確に単位付きの計算をすることになり、その際には順番は減点の対象にならないでしょう。
この時期だから、ここにこだわって教えるというのは、「作戦」として理解しました。
私自身教育現場など全然知らない人間ですので、論評等は避けますが、一概に「大人の感覚」で一方的に非難することではないように思います。
賛否渦巻いていることから見ても、この教え方が最良ではないのかもしれません。
しかし、実際に小学校低学年に「数字の概念」から順番に教えていく経験の中から出てきた方法の一つだと思います。
また、その「概念」を教えていくわけですから、その手段として「日本語的要素」が入るのは至極当然だと思います。
数学は自然言語とは違うというのは、その後に覚えていくことであって、概念の入り口を理解するのに自然言語に頼らないわけにはいかないからです。
大衆操作だとか、教師が何も考えていないだけとかいうのは、根拠のない誹謗中傷にしかならないと思います。

白川さんとしては、先のブログ記事の出来事と合わせ、教育現場に多少の不信感をお持ちなのだと推察します。お子様の教育を真剣に考えていらっしゃる素敵なパパだと思います。
興味深い記事をありがとうございました。
素人の長文コメント失礼いたしました。

あとり

小学生の姪の宿題を見ていて、問題文が意味不明だったのはこのせいかと納得しました。
自分が今の子供だったらかなり成績悪いかもしれない…。
順序だって物事を考えるうえで、その教育方針が有効に働くだろうということはわかりますが、
×にするのはやりすぎですね。
むしろ加減乗除の混じった計算も、全部頭から計算するようになってしまいそうで怖い。
必要なら、ある程度理解の進むまで、
式の枠外に「人」とか「本」とか捕捉させるほうがいいような気がします。

木村さん、通り過ぎさん、あとりさん、コメントありがとうございます。

特に通り過ぎさんのコメントの「単位」「日本語的要素」の話などをお読みして、一理ある、と思い直しました。

僕が書いていた反論はどれも「教育現場の外部者からの論理」ですね。
自分が何をどう教わってきたかという過程をすっかり忘れていて、結果だけを覚えている立場からのモノの言いようかもしれません。
教育現場には教育現場なりの「作戦」がある。

それでも×にするのはどうか、×にしないやり方はないのか?とは思いますが・・

※別の話ですが、
×ウサギが4匹
○ウサギが4羽
だと思うので、こっそり直しました( ̄ー ̄)。

akirakageyama

考えさせられました。私は「間違い」とすることに反対。なぜなら、子供たちが世界を理解するやり方を縛ってしまい、「考えるやり方を自分で見つける」能力を損ないそうだから。

世界を理解するやり方って、人それぞれだと思うんですよ。例えば掛け算の暗算をするとき、9×2を考えるときに、「くにじゅうはち」で覚えてもいいし、「10×2より2少ない」で覚えてもいいと思うんです。そのやり方は自分にあったものを子どもが見つけていくんだと思います。

もちろん、教師は最大公約数の子どもが理解しやすいやり方で教えるでいいと思うんだけど、それ以外のやり方で理解することを否定してはいけないような気がします。

自分の子どもには、「お前が理解しやすい形でわかればいいよ」と教えてます。お父さんはこう考えるけど、それは一つのオプションで、お前の好きなように考えてごらん、と言ってます。私のこどもは6歳なので、全然受け止められていないですけど。

Nebo

小学校教育において×を増やせば、子供の苦手意識が高まり
苦手意識はその後の学力の伸びに悪影響を与えるでしょう。
選択の余地があるのであれば○を増やす方向を教育の指針としていただきたいものです。

竹麻呂

はじめまして。

何処かの本で見かけたのですが、

○○○○○○が8個
ゆえに
6×8=48
という考え方の他に、
1人に1本ずつあげてそれを6回繰り返せばいい
ゆえに
8×6=48
という考え方もできると書いてありました。

つまり考え方によってはかけられる数が8かける数が6になるということもあるということです。

そうなってくると8×6をバツにするのは絶対おかしいということになります。
(8×6がバツだと言っている人達はかける数とかけられる数が逆と言うことだから)

Noir_LF

なんだかもう正直ツッコミどころが多すぎて笑いたくなるような記事ですね。
確かに「答:48本」まで×にしたこの採点はどうかと思いますが、式を×にした判断は全く間違っていないと思います。
と言うわけでぱっと見て目に付いたツッコミどころに突っ込みを入れていきますね。

・「僕はこれを読んで益々考え込んでしまった。そもそもこんな約束あったっけ?」
あなたが小学校の授業を聞いていなかっただけでしょう。少なくとも僕の両親(44歳)の時代からこの教え方です。

・「反論その1: a×b = b×a」
交換法則はあくまで代数法則であり、「算数」における意味合いを重視した掛け算にも通用するかと言うと話は別です。
8×6はあくまで8+8+8+8+8+8であって、6×8はあくまで6+6+6+6+6+6+6+6なのです。
結果としてどちらも48となるので「計算法則としては」8×6=6×8が成立しますが、定義としては全く別の話です。
反論その2はその1と同じことしか言ってないのでスルーします。

・「反論その3:理想に技術が追いつかない時の対処」
これはあくまで教師の指導力の問題であり、掛け算の順番とはなんら関係がありません。
直接教師に文句をいいましょう。

・「反論その4:言語に頼らないことが数学のパワーの源泉」
最初の「僕はこれを読んで益々考え込んでしまった。そもそもこんな約束あったっけ?」と近しいところはありますが、ここではその他のところにツッコミを入れていこうと思います。
まず、米国の場合を考えると、3×4は「three times four」ということで、「4が3個」という意味になり、3×4=3+3+3+3とすると間違いであると×にされます。
このことから、米国でも「かける数」と「かけられる数」の順序に違いはあれど、その意味あいを重視する点は変わらないということがわかります。
したがって、米国の小学校でも「8人にペンをあげます。1人に6本ずつあげるには、ぜんぶで何本いるでしょうか。」の式に「6×8」と書けば×にされることでしょう。
このように、「かける数」と「かけられる数」という概念は世界にも存在するものであり、決して「ガラパゴス」的なものではないと言えるでしょう。
また、縦横に並んだ●の数を数える(≒面積計算)では、単位の差異から来る「かける数」と「かけられる数」の違いが無いため、「8人にペンを~」とは本質的に異なります。ここで例として出すには不適切でしょう。

とてつもない長文レス、失礼しました。

追記:竹麻呂さんの考え方をとるなら、正確に言えば「1(本)×8(人)×6(回)」ではないでしょうか。
「8人に1本ずつあげるから1回の操作に8本必要」というのを頭の中で暗算しているだけだと思います。

鈴木智仁

これは「数式の意味を意識させる」ことが目的だと思います。
僕の私見ですが、数式の意味を意識してるかどうかで高校の物理が出来るか出来ないかが分かれてきます。
計算自体は出来るけど、その計算が何を意味してるのかが分からないって人は意外と多いのではないでしょうか。


そういった問題を改善しようという意図なんでしょうけど、現場の先生すらその意図を理解できてないみたいで。
もちろん子供には伝わらない。
親はナンセンスだと批判して元々何が目的なのか考えもしない。
これじゃ子供が可哀想だ。


余談ですが僕は小学校で物質の最小単位が分子だと教わった記憶があります。
僕はその時点で原子を知っていたので「子供にウソ教えていいのかよ」なんて思ってました。
そして中学では原子が最小と教えられ、高校では素粒子と教えられ・・・。
学校で教える事って案外ウソが含まれてるんですよね。


もしそれが次に繋げる為の最良のステップだとしたら、正しくないことでもあえて教育方法に組み込む。
そういうやり方も教育としてはある意味アリかなと思います。
まぁそれでバツをつけるのはナシだと思いますし、この教育方法が有用かどうかは分かりませんが。

TH

怒ってますねぇ。。。
本当に同感です。
こういう教え方が、画一的な考え方しかできない人間を作るんじゃないかと。
私は、めんどくさがり屋なので、どっちでも良いやと思いますが。
やっぱり、塾とかはダメなのかなぁ。
こういう考え方を無批判に取り入れる教師のレベルが問題だと思います。

ちらし寿司

正直この手の問題は柔軟に対処する必要性があると思うんだけど、この例で言うと「子供がちゃんと理解していてこの式を書いていた場合」を全く考慮していないですね。
子供たちの理解力はバラバラだから、最初から6*8と8*6の二通りあると気付けている子供も居ればそのどちらとも分からない子も居る。

この「掛け算には順番があるよ」という考え方は後者の子に対する分かりやすい考え方であり、前者のような子に対しても同じ考え方を突き通してしまうとその子は「それでいいんだ」と発想の柔軟性を損なってしまう可能性があるんですよね。
結局の所、この順番があるという教え方そのものには問題が無くて今回の場合は教師の考え方が一つに囚われすぎていた事が問題なんじゃないですかね。

なので私としては今回のケースでは×にしたことは間違いだと思います。
ヒアリングの所で投稿者さんのお子さんは答えに対して式が複数あることが分かっているようですから。

やちむる

これは問題文が悪いですね。
1人にペンを6本もあげるくらいなら、8人といわずもっとおおぜいの友達にあげたほうがいいと思います。
あと小学2年生のお小遣いでは、ペンを48本も用意できないと思います。

t.m

のひさんが紹介されたブログを書いている人です.
本文のいくつかは
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111211/1323615599
が関係すると思われます.

最後に書かれた●の並びに関しては,ある紀要に〈乗数と被乗数を区別しない文脈〉と書かれているものに属します.冒頭に挙げられた出題は〈乗数と被乗数が区別される文脈〉ですので,同列にすべきではないと考えています.
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111003/1317572742
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111013/1318452890

「ガラパゴス」という言葉から,「そんな考え方は日本ローカルだ」というのを連想したのですが,海外への発信や,海外で指導されている実例を収集していますので,ご笑覧いただければと思います.
http://d.hatena.ne.jp/takehikom/20111109/1320785343

t.m

答えまでバツというのは初めて見ました。今年出た本ですが、ある学力調査で式と答えを別々に採点しており、式の正解率が答えのそれよりずいぶんと低い問題もあります。
それと、赤鉛筆で直したのは、お嬢様ご本人ではないかと思います。

たかはし

×はおかしいと思います。
づつ、にこだわると言うことは本/人という単位(分数)の理解が前提になると思います。
よって、分数を教えていないのに単位に依存した説明はおかしい。

あわわ、半日見ないうちにたくさんのコメントが。皆さんありがとうございます。

のひさんが紹介してくださったt.m さんのサイトも拝見しました。正解派、バッテン派、それぞれの中でも、様々な理由があるようです。とても興味深く読みました。この辺の理屈を、他の教科も教えなければならない先生が全員理解する、というのはハードルが高いですね。
また、ココにこだわりを持っているのは日本だけじゃないことも分かりました。

Noir_LFさんの様に「数学(代数)と算数では違うよ」という意見はWeb上でも見ますし、それに対して「違うと考えるのはおかしい」と書いている方もいます。

また、正解バッテンとは少し次元の違う「自分で考え方を探らせるのがいいよ」といった論点もありますね。これは、僕自身そういう子供だったので、記事にも書きたかったのですが、上手く言語化できなかったことです。

「先生の教え方はこうだけど、それもあり」というのを、マンツーマンならまだしも、40人学級でやるのは難しいのかな・・。
「教育上の理想」と「現場の現実」、「色々理解した上で教えるべき」と「そこまで追いつかない、教える側の状況」など、議論の土台が複数あることも、この議論がなかなかすり合わないことの背景にありそうです。


ちなみに「答えの48本までバツかよ!」については未だに謎ですが、あまりに謎なので記事本文ではスルーしました。単なる採点ミスかもしれませんね。

あと、やちむるさんのコメントには和みました( ̄ー ̄)。

今日は通信簿をもらう日なので、娘は
「算数の成績がドキドキする~。掛ける数と掛けられる数があったから心配」
と言いながら登校していきました。

はじめまして。「かけ算の順序」について研究している積分定数と申します。
算数「かけ算の順序」を中心に数学教育を考えるhttp://suugaku.at.webry.info/
を見ていただければ大体のことは分かっていただけるかと思いますが、

1.かけ算の意味を促すように、理解したかどうかの判断材料として、という理由で、「A×BはAがB個分の意味である」というように左右に異なった意味を持たせる導入を行う。「A×BはBがA個分の意味でもある」が、こう言うと混乱する子もいるという配慮から、敢えて積極的には触れない。

という指導法が1つの流儀としてあった。

2.「A×BはAがB個分の意味である」とだけ導入し、「A×BはBがA個分の意味でもある」には敢えて触れない方が指導法としていいらしい、という話が、「A×BはBがA個分の意味でもある」という考えが間違っていると誤認する教師が出てきた。

3.「正しい順序」という幻想があると思い込んだことで、「正しい順序に書かせること」が目的となり、「答えの単位と左側の単位を一致させれば正しい順序になる」という方法が「開発」される。この段階で当初の1.の順序固定の理由は忘れ去られる。

4.さらに「答えの単位が左側」というルールがあると思い込む人まで出てくる。この似非ルールにより、8人に1本ずつ渡し、2本目を渡し、・・で、8本が6つ、8×6、というのもバツとされてしまう。

というのが大ざっぱな流れです。

かけ算を理解したら、(1あたり)と(いくつ分)は区別不可能であることが分かるわけですが、大人(教師を含む)になってもこの順序を信じている人が少なくありません。

このこと自体が「順序を指導したらかけ算の理解が促される」があやしいことを示しています。

ちなみに、文科省も指導要領も順序の指導については何もいません。あくまで教え方の流儀です。順序を指導しない教師もいます。「みんながそう習ったはず」という人がいますが、事実と異なります。

 正方形は長方形か?というのも似たようなことになっていて、正方形が長方形であると教えると児童が混乱するからということで、小学校では積極的に触れることはしない、となっているのですが、実際には「正方形は長方形でない」と誤認している教師がいるようです。

砂井裏鍵

Noirさんとほぼ同意見です。
ちなみに私は台湾人ですが、同じことを教えられました。
日常の算数はいいとして、将来科学の道を歩むかもしれない小学生に正しいことを教え込むのは何の問題もないと思います。

がると申します。
ふと思い出したことがありまして。

ある試験で、4択だかの問題で「正解なのにバツをもらった」という話がありまして。
教師に理由を聞いたら「bの文字が筆記体なので、これは選択肢にないから誤りである」という判断だったそうです。
確かOKWaveさんのところだったかと思うのですが、案外とこの話は(も)「賛否両論」でした。
面白いのが。賛同する方々は全員、教師または受験に深くかかわっている人たちでした(反対意見は色々な人がおっしゃっていたのを覚えています)。

とりあえず…好む好まないの感覚として「好まない話だなぁ」と思った記憶があります(苦笑

まつかす

妻(38)も、かけ算の順序を含めて習った記憶があるそうです。そのときの先生はそのことをきちんと理解して教えていたようで、式に8×6=48と書いてもマルにして、6×8=48となっていれば、花マルにしてくれたそうです。

小学生には時期尚早ですが、単位を含めて式を立てるのであれば、6本/人×8人=48本が良いでしょう。問題文にも「1人」という数が登場しますし。

交換法則が必ず成り立つからどっちでもいいという考え方には賛成はできません。高等学校で習った行列はABとBAが必ずしも一致しなかったでしょう。まあ、そのときに理解すればいいんですが。

narai

面白い話ですね。
興味深く拝読させていただきました。

コメント欄のちらし寿司さんの書かれてらっしゃる
“「子供がちゃんと理解していてこの式を書いていた場合」を全く考慮していないですね。”という点が違和感の核だと思います。

算数の式には単位を書き込めないから、児童は「人が8人で、ペンが6本だと分かっているよ。」ということを教師に伝える術がありません。それなのに 一律に 8×6は間違っていると指導せざるをえない教師も苦しいところだと思います。仮に回答欄の下に「なお8は人の数、6はペンの本数とする」という注釈が添えてあった場合は(そんな小学2年生は未来永劫いないでしょうけれど)教師はどう採点するのか、気になるところです。

私はこの話を「テストでの正誤とは何か」という形で膨らませて考えてみました。
つまり、「理解できていればよい」のか「理解できていることを正しく採点者にアピールできていればよい」のか。ということです。
この視点でいくと、8×6と書いて×をされた子供が、8人×6本だと理解できていれば『正しく理解できている』ことになりますが、『正しく理解できていることを採点者に示す』ことには失敗しているとも言えます。
表現力は確かに重要です。
しかし、表現力は国語などの教科で培うほうが単純にスムーズだと思うのです。

単位を意識させたいという根底にある教育方針には大賛成なのですが、単位を書き込めないという数式の性質とは両立しないですね。別の機会に教えたほうがいいと私は思いました。

「順序はどちらでもいい」が正しい事実です。かけ算導入段階では、混乱を招かないように(1あたり)×(いくつ分)の方だけを教えるという話がいつの間に片方の順序だけが正しいとなってしまったものです。

 「正しいことを教えるべき」ということであれば、「どちらでもいい」としなければなりません。

「本来は正しい順序があるが、段々うるさく言わなくなる」のではなく、「本来はどちらの順序でもいいが、導入時に片方だけが正しいという嘘を教えている」のです。


 また算数での教え方の話なので行列は関係ありません。それを言い出したら順序数では和の可換性がなりたたいので足し算の順序も教えなくてはならないし、外積では結合法則が成り立たないので、3×4×5などは、(3×4)×5 あるいは 3×(4×5)と書き分けないとならなくなります。

 行列の話と小学校算数のかけ算の件とは何の関係もありません。中学で文字式を習う段階では文字より数字が先という慣例を守るためには、1あたりといくつ分の順序はどうでもいいとしなくてはならないので、高校で行列を習うからというのは理由になりません。

 行列Aをn個たしたら、nAでありAnではありません。かけ算の順序に拘ると行列で混乱する可能性があります。かけ算の順序に拘ったら行列式の定義は大変で、階数や一次独立/従属といった線型代数の基本的な概念の定義も大変になります。対角行列は可換だし可換として扱います。

M生

ある順序・ある考え方で式を立てろ、と教えることに効果があるとしても、他の順序を誤りとする根拠・他の考え方を間違いとする根拠には全くなりませんよね。

問題は「『ずつ』がある方を先に書くと覚えている」点です。「細胞が4つあります。それぞれ分裂して2つになります。細胞は全部で幾つ」の場合、4つが2つづつなので「2×4」だと理解し出来ていない。さらに、「細長い板を4本と2本を井桁に組み重なるところに釘を打ちます。最小何本釘が必要になりますか」の場合、「掛けられる数」は?「掛ける数」は?。

式の順番があっているからといって、「掛けられる数」と「掛ける数」の理解出来ているとはいえない。そもそも、「『掛けられる数』×『掛ける数』の順番に書」は公理でも定理でもない。便宜的ルールなのではないのでしょうか。

直接に「式の順番」で○×をつけずに「掛けられる数」と「掛ける数」を別途問うべきだと思う。「式の順番」は「掛けられる数」と「掛ける数」を認識出来ている事を確認した後に問うべきだと思う。そうで無いと「掛けられる数」と「掛ける数」が分ってないのか「式の順番」が分ってないのか把握できない。理想的には何故「掛けられる数」か、何故「掛ける数」を論証(説明)させなくては本質的理解が問えてない。

本質的理解が問えてない情況での評価(○×をつける)は、教育的に好ましいとは思えない。

設問に問うべき本質的理解(目的)に対する適切な評価がなされていない点で、数理的に不適切な評価の仕方ではないでしょうか。(非数理的な算数教育には問題があるのでは)

niam

教育学も,学問の範疇である以上,実証性が重視されるべきだと思います.
この問題は実証可能なはずです.きちんと,
・「掛け算に順序を持たせて教えるクラス」(実験群)
・「掛け算に順序を持たせないで教えるクラス」(対照群)
を作って,「掛け算に順序を持たせて教えた群の方が,その後の算数の掛け算以外の部分(割り算,分数など)の点数も統計的に有意に高くなる」ことを実験的に示せばいいのです.
そういう実験結果が続々と出てくるなら採用すべき施策ですし,効果が認められないのなら,ここまで大きな混乱を招いているのですからやめるべきだと思います.
実証可能なのになぜ実証しないのか理解できません.

たけのこのこ

Noir_LFさんなんかは、この辺の記事でも読んで、もっと色々考えられた方がよろしいのではないでそうか?

http://suugaku.at.webry.info/201102/article_18.html

小学校の算数だから、数学なんてまったく理解してなくてもいいやっていう「甘え」が「慢心」となり、その「慢心」こそが、Noir_LFさんの「誤った教育」(Nori_LFさんが教育者であるならば)に繋がっているのだと思います。

何はともあれ、大手であるはずのベネッセの教育の質がここまで低いのには、驚かされました…。

みなさん、多くのコメントありがとうございます。
本当に多様な論点がありますね。僕は会議屋なので、
みなさんの意見の次元がどうかみ合っているのか、ないのかを
観察するのも非常に勉強になります。


さて、先ほどお風呂で娘が頼みもしないのにレクチャー
してくれましたので、ご報告しておきます。

1)
「先に書いた数字の単位が答えの単位になるんだよ。
チョコが7個で配るのが2人なら、7×2で答えは14個でしょ。
2×7なら14人になっちゃうでしょ。」

⇒がーん。コメントで多くの方が指摘されていた誤った理解ですねぇ。
「先に書いた単位が答えの単位」という以前に、
14あるのは人じゃなくてチョコでしょ・・


2)
「式が間違ってたら(逆に書いたら、という意味)、答えもバツにするぞー」
って先生に言われた。

⇒コメント欄でこの問題を詳しく調べている方が
 「答えがバツなのは初めての例」
 と書かれていましたが、なんと確信犯だったんですね~。
 娘の担任に「あなた、時代の最先端行ってるみたいですよ」と教えてあげたい。
 教えないけど。


あまりのインパクトに、そしてみなさんにいろいろ教えてもらったことで
頭がいっぱい過ぎて即座に反論ませんでした。
仕方がないので、娘とは「5年後にもう一度この問題を語り合おう」と約束しました・・。

こんばんわ。

うちの娘(4年生)も、かけ算当初に同じ状態に陥ってました。
チャレンジもやっていたので、尚更僕には理解出来ませんでしたね。

嫁さん(化学系)は「かける順番が必要」と、学校やチャレンジ側に立っていましたけど、物理(数学)系の僕には、全く理解できない状況です。

正に、数学に自然言語を持ち込むことの馬鹿馬鹿しさ…
数学自体が、正に言語なんだけどねぇ・・・

kyoshida11

このブログの意見に同意ですね。
単なる算数だけであれば6×8=8×6は絶対合ってると思うんですよね。国語も教えたいのであれば、自由記入の形式ではなく、
_(_単位)×_(_単位)=_(_単位)
と形式を要求すべきだと思います。
ルール自体が明示化されていないのに、「ルールは暗黙知だからわからないのが悪い、それが世の中の常識だ」と押し付けるのは教育ではないと思いますね。上記の単位を明記する形式のトレーニングを繰り返した後に次の学年から自由記入にする、とかがあるべき教育じゃないですか??

tanaka

小学2年生ですよね。でしたら、先生の訂正は正しいかと思います。
まず、2年生の段階では交換法則は習っていません。もちろん、九九を習う時点でa×b=b×aを経験的に(または教えられて)知っているかもしれませんが、学校での勉強は、習ったことを使用して進めるのが原則です。
また式には意味があります。文章題とは読み取りです。単なる計算とは違います。
文字をしっかりと読み取り、言葉に対応するよう式を作る。
その能力が求められています。
あらかじめ先生が式が逆になっていたら×と言われているのであれば、
恐れながら、娘さんの理解の甘さを正してやるのがよいです。

ただ、答えまで訂正されているのは意味不明ですが(勢いで直したかも知れませんね)

sh002

こんにちは

私は先生の採点方法をを肯定します。義務教育(もしくはそれに相当する教育)はあくまで世間の常識を教えるべきだと思います。”数学”という学問を教えているつもりは先生もないでしょう。

masaki

当時は珍しかったのかもしれませんが、30年前の担任がそのような先生でした。
ただ、私は納得しましたよ。かける数とかけられる数を認識することは結構大事だなと認識して、単に数が二つ出てきたから適当な順番で書いておけば良いやと思っていた私は、ハッとしました。中学に入って以降、単位の取り扱いに敏感になったのは、あの先生のおかげだと思っています。
そして今は、数学者や先生ではないものの、数学を生活の糧とする職業に就いています。趣味としての数学も大好きです。あれで算数を嫌いになったりはしなかったという一例の紹介でした。

TTNM

先にどういう順番でも良いと教えると、後から交換法則を教える意味が無くなります。

積分定数さんは行列は関係無いと言っていますが、私はあると思います。
掛け算の順番の意味→交換法則→交換法則が成り立たない例外的な掛け算も有る
というように、掛け算の順番だけでなく、正しい「教える順番」という物があると考えます。

TETSU

コメント読んで勉強になったので自分もコメントを(といってもどう教えられたか覚えていない、授業はあまり聞かかったし宿題も忘れることが多かった人だったし(^^;)
算数(数学)は国語力が大事って意見は聞いたことがあります(辰巳琢郎さんだったかな)実際一番国語力が試されます、理解するのが難しい文書も多いし、ちゃんと理解出来れば半分できたも一緒だと思うし(理解出来なければ正解を出すことも不可能だし)
あと簡単に正解を出す必要もないというか、やっぱり難しい問題なんだと思います。かけ算って小学校低学年で習いますが、昔の偉大な天才数学者が人生をかけて作り上げた”もの”ですから、簡単に理解出来なくても仕方がないもの何だと思います。
で大事なのは、決めつけるよりも考えることだと思います。
数学は自分で考える力を付けることが一番の目標だと思うからです。定義や解放を覚えることはそんなに大事なことではないでしょう、テストで点取るには手っ取り早いかも知れないけど。
これをきっかけにして、どうしてそうなるのか疑問に思って考えるようになるのが一番かと。まぁ周りの大人が自分の常識を頭ごなしに教え込んで、考えることを放棄させることが実際は多いんですけどね。

tel

かける数、かけられる数というのは主観であり思い込みです。

本質的にはどちらも同じことです。
大人でもわかっている人がこれだけ少ないというのがとても悔しいし、とても悲しい。
数学というのはその隠された本質を見つけることで発展する学問なのに。
ここまでまともな指摘をしている人が一人しかいない。

「8人にペンをあげます。8人なので1人に6本ずつあげるには、
8本を一度にとりだして、8人に1本ずつ分配するという方法を、
一人が6本に達するまで繰り返す方法を考案しました。
ペンは何本必要でしょうか?」

と書いたら、6x8と8x6のどちらが正解になるのでしょうか?
問題の文の"あげる"という表現には具体的なあげ方について言及がありません。
数学は、あげ方をどう連想するか各人の主観に委ねられている部分であり、
本質ではないことを教えてくれます。だから入れ替えても結果がかわりません。
それが大事なことなんです。

p

答えを訂正しているのは娘さん本人だと思うのです。8の書き方的に。

STN

既出なら申し訳ないですが、「6」の単位は「本」ではなく「本/人」です。問題文にも「1人あたり6本」と記述されています。
なので単位だけで見たら「人 × 本/人 = 本」となり解の単位が「本」になるのです。
当然順序が逆でも問題ありません。

ここまでの理解は小学校では難しいかもしれませんが、「ずつ」の位置にこだわるような教え方では本質からあまりに遠いです。

ぶらん

数学はそもそもいかに簡単で単純な方法で解を導き出すか、というのが本質に近いと思うのだけど、それは絶対条件ではない。
どんなまわりくどい手段であっても最終的に解を導き出すのが正しい姿勢なわけで。
そういう自由さがあるものに変な固定概念や自分勝手な縛りを持ち込むのは良くないと思う。

これではただのセンター試験対策に他ならない。
形式はどうあれ自分で考えて解を導くという手段を放棄させてる。
小学生にやらせることではないし、この教師、指導要領、いずれも間違っている。

fazzy

事象より言葉を前提とした公式の求め方だと後々苦しくなる気がする
例えば負の数のかけ算とかどう表現&説明するつもりなのだろう

taka

こんな理由で不正解にして子供を混乱させるぐらいなら最初から問題を
「8 × □ = □」にすれば良いことで算数の本質から逸脱している。

 こんなくだらないことしていたらますます日本人の学力落ちますよ。

 学力の国際比較
 http://www2.ttcn.ne.jp/honkawa/3940.html

B6

某掲示版に話題があがってたので読ませていただきました。
 私は30歳になりますが掛け算の順番をどうこう言われたことはないです。小学生の算数(小学生に限らず数学全般でもかな?)では求める物が決まっているので単位は掛ける順番によらず一定だと考えます。そもそも問題文で「何個ですか?」と聞かれて「何人」と答えるならそちらの方が大きな問題ではないでしょうか。
 しかし、この掛ける順番というのはどこまで存在するのでしょうね。高校数学の範囲でもけっこう長い数式があります。基本的に公式に当てはめて解くのですが公式同士を掛けるときも順番が重要になるのでしょうか?また分数を含む計算で、先に計算すれば暗算ですむ数式を順番にこだわって時間を掛けて計算するのでしょうか?どこかに詳細があるかもしれませんが私が生活していく上ではまったくの無駄なので特に調べませんけど。

 ただ、高校で物理を習うようになった時には計算の順番や単位は内容を理解する上で重要でした。学問のレベルが上がれば上がるほど基礎や概念が重要になるとは感じました。先生方もそれを考えて拘った教え方をされているのかもしれません。

 とはいえ、「人が8人いてそれぞれ6本もってるから8×6」と掛け算の使い方を理解しているのなら×にするべきではないと思います。概念なんて最初の人が言ったもん勝ちなんでなんとしても覚えさせるものでもないでしょう。電流はプラスからマイナスに流れると決まっているのに実際の電子はマイナスからプラスに移動している、最初に言った人のおかげで学生が迷惑した1例ですかね。

 通りすがりの長文失礼しました。

吉里信哉

黒字も赤字も筆跡が同じだから
自作ジサクジエンデシタ(・∀・)v ヴイ!!

これは明らかに教育者・教師が間違っています。どこで、こんなインチキな教育を受けたのか調べる必要がある。
6x8=48 に関しては単位は関係が無い。何故ならば求める目的は、人数に対する本の総量なので、計算上人数分を用意するという事で、本の数を人数分でかけるのは当然なわけですよ。
そしてまた、論理記号、論理式っていうのは世界共通の言葉であるし、6x8も8x6も入れ替えても同じですよってのも習うわけです。
これが不正解だと、等号の意味が成立しないでしょ?
教師側が後付で、こじつけて言い訳してるだけですね。これは。
明らかに、教師が間違いである。知力テストとか受けさせたほうがいいなぁ、この教師。若年性痴呆症とか脳に突発性障害でも発生してるんじゃないか?

u

なぜ?おかしいよ。答えの48木は減点対象になっても仕方ないけど、かけ算の順番はどちらでもいい。

u

あ、よく見るとちゃんと "本" と書いてましたね。じゃあ、問題ないはずだけど…
今の教育はよく分からん。
算数・数学を知らない人が教えてるとしか思えない。

36

教師がおかしいと言っている方がいらっしゃいますが、
うちの息子も掛けられる数、掛ける数の順序のことについて言われたそうなので
そうではないと思います。

akira

これは先生が正しい。先生が間違っていると言っている大人は、小学校の掛け算の定義を理解できていない大馬鹿者です。

今のうちにちゃんと教えないと、一生数学のできない子になります。親御さんがちゃんときいて、先生の言うことを理解できていないことが分かっているので、ちゃんと教えたほうが良いでしょう。

反論その1の、a×b=b×a(交換法則)は自明ではありません。ちゃんと証明が必要なものです。証明できる人がどれだけいるか疑問ですが。

小学校レベルの自然数同士の掛け算の定義を子供に教えるには、
6×8=6+6+6+6+6+6+6+6(6が8個)
8×6=8+8+8+8+8+8(8が6個)
こうだったよね?と、最初に教えたはずのことを復習すれば良いだけのことです。

数学も記述言語の一種と考えると、「6が8個」と「8が6個」では意味が違うわけです。

ゆとり教育のせいか、そんなことも知らない大人が増えてしまったのですね・・・。

匿名

小学校の授業内容なんか覚えてないしそれで鬼の首を取ったように言われてもね

>最初に教えたはずのことを復習すれば良い
教師に言えよ
ずつが云々とか混乱させてるだけじゃん

落伍者落語家

国語的にはどっちでも同じなんだけどね。「6本を8人に」か「8人に6本ずつ」であることは問題文からも明白。娘さんは解答欄にはっきりと「48本」と単位を間違えずに書いていることだし、本質を理解できていると思う。「48人」って書いてあったら間違いにしましょうよ。
でも教師は「これはこういう教え方をするもんだ」と思い込んでいたから柔軟な対応がとれなかったのかな。後になって「やっぱりキミの答えも考え方としては間違ってなかったよ」なんてプライドの塊である大人たちが言うはずもないし。(コメ欄の争いを見ればよくわかりますね! ^ー^b)
賛成派の意見も反対派の意見も一理あると思います。でも子供にものを教える教師なら中立派を気取っていてほしいものです。のらりくらりとはぐらかして「主張」は避ける避けるww みんな、要領よく生きるんやでー。大成できんかもしれんけど。

元塾講師

こんにちは。レス全部読んでいないのでかぶるかもしれませんが、その時はごめんなさい。
×「バツ」をつけるのは可哀想ですね。わたしなら△か○にします。
ただし、授業で「順番を正しく書かないと×にするからね」といっておく場合は、×にします。また問題そのものが、計算結果よりも計算の順序を問う内容の問題であれば、当たり前ですけど×ですよね。

掛算の順番は、「教える人」、「学ぶ人」それぞれにとって非常に重要です。
これがしっかりできていると、「割り算」をスムーズに理解できます。

例えば、「12本の鉛筆を3人に分けると、1人当たり何本になりますか?」という問題があります。これは12÷3=4本と、計算しますね。3÷12と計算する人はいません。

しかし、分数を習うと不思議な現象が起きます。「長さ2mのひもを6人に分けると1人当たり何mになりますか?」という問題に対して、「6÷2=3m」と答える子供と、「2÷6=1/3m」と答える子供がいます。正解は後者です。

分数を習ったばかりのときに出題されると、ほとんどの子供は「2÷6=1/3m」と答えます。しかし、学年まとめテストや前学年総復習テストなどで、分数の問題なのかどうか分からなくなると、4割くらいの生徒は「6÷2=3m」と答えてしまいます。

さらに、「1/6時間で3/5kmの距離を歩いた。この時の速さは時速何kmか?」と、「分数と分数」や「みはじ」なども入ってくると、ほとんどの子供は運任せで「1/6÷3/5」、「1/6×3/5」など考えしまいます。この問題を、しっかり理解した上で「3/5÷1/6」と答えられる子供は2割くらいだと思います。(もちろん学校のレベルや先生の力量によってはもっと上がるとは思いますが・・・)

しかし、かけ算をはじめて学んだ時から、しっかり計算の順番を意識づけられてきた子供は、割り算の時にも順番を意識するようになります。

計算順番をきちんとさせることには、上記のような利点はありますね。

ただ、何も断らずに×(バツ)は ちょっと可哀想かなと思います。
ようは生徒に事前に断わっておくかどうかがポイントなのかと('ω')ノ

匿名

私は、問われた事に正しい答えをしたのに×になるんだ、とは小学校低学年に指導できません。正しい事をしても怒られる事があると言うようもんです。

なので、問題文に『順番を正しく書かないと×にする』と書いてなければ、式と答えを別の解答欄で答えさせてますし、少なくとも48本という解答は○にしないと、筋が通らないんですよね。


だから私個人は子供に、数学的にどうとか、指導の仕方とかより先に、そこを指導しますし、問題文に不備があるならしっかり抗議するように言います。理解させたい事を答えさせる問題の出し方をしているのか聞いてこいと。

子供は、そこまでしませんでしたが。

匿名

試験問題の正解は、出題者の意図する答えだと思います。それが理不尽であっても、正解かどうかを判断するのは出題者です。実社会でもそうだと思いませんか?式を書けと書いてあるなら出題者が書いて欲しい答え方がきっとありますm(_ _)m

匿名

アメリカにも「掛け算の順序問題」があることをイギリスの新聞の web記事で知りましたので、こちらで情報共有しておきます。
日本の算数の掛け算の指導とは反対に、(日本の言葉を借りれば)「いくつ分」×「1つあたりの数」という順序で式を書くように指導されるようです(だから、アメリカの小学校では 5x3 は 3+3+3+3+3 であって、5+5+5 ではないのだと推測します)。

http://www.telegraph.co.uk/news/newstopics/howaboutthat/11960777/Why-555-doesnt-always-make-15-Maths-exam-question-divides-the-internet.html

匿名

先生の言いたいことは分かる。しかしながら、数式的に正しいものをバツにするのはいかがなものか。
勘違いしている者も多いが、8×6も6×8も、答えの単位が正しければ本質的には正しい。8本をまとめて配るか、一本ずつ配りそれを8巡するかだからだ。
しかしながら、後者の考え方をする者は稀かもしれない。何を掛けて掛けられているのか分からず適当に入れ換えただけかもしれない。だがそれでも答えは正しいのだから少なくてもバツにするべきではない。定義の理解を問いたいのならば問題文をそのように工夫するべきだし、あるいはテストの採点後に「一応マルにしたけど、これとこれは意味が少し違うからね」と解説を入れれば良い。
そもそも算数の時間なのに、日本語的に理解させようとしているのがおかしい。概念を理解させたいのならば、イメージで理解させるべきだろう。実際にペンと人間を用意して。さらにそこで、答えの単位が「本」ではなく「人」にしてしまった場合を考えさせてみると面白いかもしれない。そこで単位の重要性にも気付くであろうから。

匿名

Noir_LFに全面的に同意。

匿名

このテーマは人によってセマンティクスサイドからなのか
シンタックスサイドからなのか切り口が分かれるので、
その人の計算に対するスタンスがにじみ出て面白いですね。

うーんしかし答え48本が×ってのはつらいw
小学2年生の問題にあんまり意見の割れる問は出さないで欲しいかなぁw

まぁ皆さんが言う様に色々話はありますが
そんなことより子供がいない自分にはこれが羨ましいw↓
>仕方がないので、娘とは「5年後にもう一度この問題を語り合おう」と約束しました・・。
これだけ意見があれこれ飛び出す話題ですから5年後10年後更にもっと先に渡って
親子の話題として話せるのであればそれはそれでよいことですね。4年前だから来年が5年目?
多くのコメントのとおりこの問題は底知れぬテーマをはらんでいるので親子で色々話せたら面白そうですねw

あい

ちょうど小学2年生の子どもがバツをもらい、
意味が解らなくてここに辿り着いたのですが、
Noir_LFさんとか、akiraさんの説明でやっと理解できました。
しかし学校の授業だけでは、
子どもはちっとも理解してない・出来ないんですよね。
こちらのコメントのお蔭で、子どももやっっっっっと理解してくれました。

romorom

この問題で×は間違え。式とか計算式にディメンションは関係ない、単なる数式でしかないから。一個6円のお菓子を8人に配るといくらかかる?と、8個買ってきても支払うお金はいくら でも式は6×8=48 しかし式を評価すれば意味が違うわけだ。これを先生はどう説明するのかな?結局言葉遊びの一種でしかない。もし一当たりという考え方が重要だと本当に教師が生徒のために考えるのなら、式の中に単位を書きなさいと付け加えるべきで、数式に意味があるような表現は例え算数でもまずい。百歩譲って1当たりという考え方で、先に1当たりと書かせるのは、分数が出てくるまでにするべきだろう。1mあたり1000円の布の3分の4メートルはいくらかなどという場合にこの順序がおおいに理解に役立つから。1当たりの考え方は乗法の考え方で、乗法=加法という概念を捨てるための物であることを先生は知っているのか?(水道方式の乗法)3×2は3+3+3で、2×3は2+2+2であるから、意味が違うなどという説明は意味が不明である。教師がきちんとした知識も考えもなくやみくもに、教科書の指導書のまま教えるのは、子供が理由がわからないまま、数字を前から順番に掛けただけという概念と同じだ。この問題は私が小学校のころも先生がそういっていて、不思議に思っていくら質問しても納得がいく回答がなかった。いずれにしても数式に置き換えた時点で、すべて元の文章とは無関係である。もしか関係があるのだと6×8という式はこの問題のみにおいて成り立つものになってしまうよ。普通は求めた答えを評価して再び問題に結びつくと考えれば良いと思う。

やま

これは、このブログの筆者が間違い。
文中になんども「数学では」とか「数学的」と言う言葉が出てくるが、
娘さんのテストは「算数」なのである。

小学校教育の「算数」は国語教育も兼ねているので、順番を間違えるとNG

そういう事です。

名無し

算数教育で掛け算の順番や足し算の順番を間違えると×は、ナンセンスな教育だと思います。これでは数学嫌いになる子供たちが続出し、日本の数学教育レベルを低下させているだけと思います。順番を決めてその通りにしないといけないという教え方はベネッセあたりも推奨しているようですが、この方法は、もともと算数ができない子供にとっては有効かもしれませんが、普通にできる子どもにとっては逆効果であり、不合理に×をもらったために数学嫌いの子供たちが大量に生まれているとしか思えません。この教え方は日本だけであり、近年の子供たちの理系離れの原因となっているのではないかという疑いを持っています。実際の教育現場での功罪を第3者機関で厳密かつ早急に調査する必要があると思います。

ナナシ

大人の視点というか知識が豊富な人の視点からの意見に思える
まず問題文を理解できたかという国語の問題でもあるし、小学校でやってるのは算数だよということ
まあバツにしちゃうのはおかしいと思うけど

いまさらだろうけど

大バカものの大人が大勢いるので、ここで正しいことを教えてやるよ。

正解.6×8

8×6が正しいとか、どちらでもいいとか、挙げ句のはてには教師の悪口までいう輩までいてさwもう腹抱えて笑わせてもらったよww

いいですか、掛け算の原理は◯◯がいくつ分、6+6+6+6+6+6+6+6をやってると手間かかるんで、6×8という立式が掛け算として成り立つわけ。くわしくは、のりとあきらが丁寧に解説してくれてるからそっち見てw

ちなみに交換法則は、乗法にはこんな法則があるんだ!という、気付きから生まれる学習を通してみにつける内容なんだぜ?

この問題は、掛け算の本質を問う問題で、実はいい問題なんだよ。くだらないこといったことを深く反省して、キミ達も一から学習するんだなww

あと1ついっておくが、この文面からは、子どもの実態、および本人にとっての課題が欠落してるのよ。
ここでさ、父親として寄り添って、何が本質的な課題なのかを、一緒に考えてあげればいいんじゃないの?こんなとこに悪口書いてもなんにとならないどころか、永遠に◯◯丸出しの状態でほんと逆に不憫だよ。(大きくなったら娘に怒られるぞ

まあ、娘のこと思っての言動かとは思うけど、勉強不足なのは否めないわな。
ではお元気でw


匿名

これはいいテーマ。
U理論のダウンローディング、討論、対話、プレゼンシングの全てがコメントに凝縮されてますね。
私もナンセンスと思いましたが、
子どもの発達や指導の流れや掛け算が生み出された背景を考慮すれば指導方法として掛け算順序を指導したことは理解できます。

ですが、結果として、✖︎ににするというのは、事実と異なるためまた別の教育上の問題がありそうです。

この教室にアメリカ人の転校生がいて、既にアメリカの学校で掛け算を習っていたらどうなるのでしょうね。

果たしてこの先生は自分がバツにした答え を⭕️にできるのでしょうかね。

グローバル化が進む社会では教師もやはり変化しないといけない存在なんですね。

匿名

日本語だと6X8は6+6+6+6+6+6+6+6を意味する。
In English 6 X 8 means 8+8+8+8+8+8.
でも、そもそも「6X8」という式に単位は含まれていない。
単位の含まれない式に母語に左右される暗黙の了解で単位を含意させれば混乱する。
混乱するからその場しのぎで賭けに出る。で、当然よくわからなくなる。
まとめて6本手渡しするなら
「6本/人 X 8人 = 48本」
1本ずつ順繰りに渡していくなら
「1本/人 X 8人/巡 X 6巡 = 48本」
数の前後が違えば単位が異なり、単位が異なれば状況が異なる。
単位さえ理解できていれば入れ替え可能ってことにしてもらえると有り難い。
ただ、掛け算の導入には使えないな。
もちろん早めに習慣づけておくと後々楽にはなる。
メックもガンマも単位付きじゃないと間違えやすいし、何よりミスを発見しやすくなる。

疑い

この問題としては、正解でよいはず、もし、解法の流れや文章題としての理解の記述がほしいなら、( )の文章にして、欲しい回答を記入させる方法を取らなければならないと思う。頭の中で1度展開させられる人や文章に引っ張られる人は、逆に書くこともある。普通ならab=baが一番重要視されるはずなんだけどね。
割算を平行させて設問を儲けるか。そこまで問うなら教科書順ではなく、割算とかけ算を同時に教えだして概念教育をしっかりやれば、と思う。教師によっては、教えやすいように順番を替えて教えたりとか普通にやってたと思う。

まー

数学であろうが算数であろうが,3×2=2×3だ。
国語の教育を兼ねているというのであれば,問題文に「一人当たりの本数×人数の順番に式を書きなさい」と明示すべき。

amsy

いろいろと意見は出ているようですが、無次元な記法によっているから教える側としては次元と計算順序を固定して教えるというのは正しい気はしますが、考えるプロセスと理解の方向性を固定化させるのがいい方法かは議論の余地がありますね。また、理解の進捗のばらつきがあることを考慮していないのもいかがなものでしょうか。文章の意味を理解できなくとも、単位の意味や算術的発想を持った子供はいるはずです。そういった子供の芽を摘まないような教育を今後の日本には期待したいところです。

匿名

考え方としてはいいと思うが、計算するうえではどっちでもいいだろ。順番があるとかいってると後々こまるだろ、方程式とか移行できないじゃん。

匿名

距離(km)の計算では時間(h)が先?時速(km/h)が先?
有名な E=mc2 においても単位が全て違う
もう1つ疑問なのが、相対性理論の本当の式 E2 = (m0c2)2 + (pc)2
(m0=静止質量、p=運動量、c=光速度)
(総エネルギー)2 = (静止エネルギー)2 + (運動エネルギー)2 となるが、静止エネルギーが先?それとも運動エネルギーが先?
"先に書いた数字の単位が答えの単位"
この理屈の出所は数学を理解してるのか疑問でならないし、教員であれば、自分の子供には関わりを持ってほしくない
親が子供に正解を教えてあげても、子供社会の場である学校で間違いを教えられれば、圧倒的多数の力で親が不正解になる恐れもあり得る、それどころか信頼関係にも支障をきたすでしょうね

匿名

距離(km)の計算では時間(h)が先?時速(km/h)が先?
有名な E=mc2 においても単位が全て違う
もう1つ疑問なのが、相対性理論の本当の式 E2 = (m0c2)2 + (pc)2
(m0=静止質量、p=運動量、c=光速度)
(総エネルギー)2 = (静止エネルギー)2 + (運動エネルギー)2 となるが、静止エネルギーが先?それとも運動エネルギーが先?
"先に書いた数字の単位が答えの単位"
この理屈の出所は数学を理解してるのか疑問でならないし、教員であれば、自分の子供には関わりを持ってほしくない
親が子供に正解を教えてあげても、子供社会の場である学校で間違いを教えられれば、圧倒的多数の力で親が不正解になる恐れもあり得る、それどころか信頼関係にも支障をきたすでしょうね

匿名

6×8=6+6+6+6+6+6+6+6
8×6=8+8+8+8+8+8
だから違うんだと言うなら
2×1.5と1.5×2はどのように説明するのか非常に気になる。

匿名

掛け算でなく積分をしているのであれば式に意味があると
は思いますがね。
その違いを問題の文脈から一意の導き回答する暗黙で
ない規則性が現場の先生でなくても合理的に説明
できるのであれば納得できるとは思いますが
先生でない


匿名

否定派で数学好きな人はいるのかな??
勉強しないで「教師が間違いだ!ナンセンス!!」って言ってるやつが多いように感じるんだけど。子どもの頃から言ってることが変わらない形だけの大人。

匿名

6x8と8x6を区別して理解度を図ろうとするのが問題の主旨なのであれば、十分に理解できている子供までを混乱させないよう問題の作り方を改善する必要があると感じました。

女なのにこんなこ書くのは寂しいけど、女性が問題を作っているというのが大きいのでは、と思います。
女性は言語野を通して数を理解している人が多いので、こういう問題を作りがちであると感じます。それに対して、男性はイメージがそのまま数に繋がっている人が多い。
言葉では説明できないけど、答えは分かる。計算式を細かく書けないけど、頭の中で答えが出る。そういう子が男の子の中には相当数います。
小学校はまだまだ女性の職場ですから、こういった教え方になるのも無理はない、と言いたいところですが、自分とは違う脳の構造を持った人間が世の中にはたくさんいることを理解して欲しいです。
それが行く行くは、小学生男子の算数嫌いと、中学女子の数学の脱落に繋がるのですから。
文科省の教え方がこの世の全てと思っていると、数学の世界からはどんどん遠ざかります。世界の数学の潮流からも。

匿名

それ、問題の作成が各教師に委ねられていることがそもそもおかしいやん。

匿名

式に
=48と答え書いてしまったから間違い説はないか、無いよな?

匿名

みなさんの意見を読んで、算数が得意な子と苦手な子では、どちらの理屈が合うか違いが出そうな感じがしました。小学生レベルで、数学的な正しさのみを規準に採点するのは効果的かどうか、疑問に感じます。屁理屈に感じるかもしれませんが、数学的な正しさだけで採点が行われるなら8×6と6×8以外に1+1+1+…と48こ1をたす式を書いた子もマルにしなくてはいけませんね。絵図をかいた上で解いた子には、こう考えて書く子がいても、柔軟な思考として認めたいところです。どんな解き方もOKな入試でもマルですね。一方でかけ算の学習をたしかめる問題ならどうしましょうか。数学的に正しければマルでいいのかな?8×6と6×8の違いとレベルが違うと言われるかもしれませんが、論点は数学的な正しさのみにこだわっている方も多いように思いまして書いてみました。
日本の教育の予算の都合、1クラスに40人ほど詰めこんでる中で限られた時間で教える際の、多くの子にまあまあ確実に理解させていく方法とすれば、かけ算の順序を画一的な教え方にしてもやむ無しと思いました。

特命

掛け算の学習を確かめる問題だから、6+6+6+…では駄目とすることはあると思う。数字が大きくなったときに足し算しか使えないと非常に不便だ。でも、「ずつが入ってるから6が先」というローカルルールなんて確かめる意味は無いだろう。8を先にしても何の不都合も無い、寧ろ順序があるとする方が不便だ。
「1.足し算→2.掛け算→五以下の段の九九→3.掛け算の交換法則→六以上の段の九九」と学習が進んでいくにも関わらず、「2.を習ったのに1.を使うのは良くない。同様に3.を使うのは良くない。」と言ってるようにみえる。あるいは「限られた時間で多くの子に教えるので、6×8をマルにせず6+6+6+…とさせるのもやむ無し」か。

教師の立場から

交換法則は演算の法則であってだからxとyの変数を表す文字を使って
ません。この法則の意味はabとbaは同じだよ。だからabと表記して
あればよい。ということです。
この変数の考えをみなさんは問題に見出していません。
鉛筆の合計は人数によって決まる変数です。
そして、人数は変えることのできる変数です。
あなた方は一生懸命
y=6xもy=8xも同じだと言っているのです。
本当に同じですか?
答えだけが出ればよいという便宜優先の考え方を
正しいとしているのではないですか
ちなみに
物理学の式を出している方がいましたが
単位は全部違いますが、答えは全ての変数を
1としたときの値を単位としたものを割り振って
いるのです。量が先で単位が後だからバラバラ
なんですよ。きちんと1キログラムの物を1
メートル動かしたときに必要な力を1ニュートン
とするという定義があります。この定義がなければ
力から動いた距離が割り出せません。
ずつが問題ではなく、ずつで示されているのが定数
だとうことを見抜けないことが問題です。

教師の立場から

ドットの問題も静止したドットだから言えることであって
これが増加するなら定数が存在します。
体積面積については同じ単位に換算して計算するのが
当たり前ですので向きを変えればたて横高さは変換
可能です。ただし、問題文にすでにたて〇センチ
横〇センチと示されている場合には暗黙の内に
公式に当てはめて答えよという問題が隠れている
ことになります。でなければ図で表せばよいわけ
ですから。
テストは答えだけに意味があるわけではなく
どう理解しているかを問う働きもあります。
大人流の答えが出ればOKをむしろ子供に押し付けるのは
いかがなものかと考えます。
式には意味があります。それは数学も同じです。
その意味が感情を表さないだけのことです。
昔から数学者が美しい式、美しい証明という言葉を
誉め言葉として使っているのはその背後の思考を
美しいと感じるからです。

教師の立場から

一番、配慮されていないのは、1年~6年までを貫く指導過程として
算数が構成されているということです。
掛け算を実は日本では掛け算として教える伝統がありません。
足し算を早く行う九九(つまり、合計がいくつか)を行うもの
として教えています。
だから、1あたりの量✕いくつ分という教え方なんです。
決して、きちんと整列させたときに四角になれば
因数✕因数で合計が求められるという乗法の考え方で教えてません。九九は○の段です。つまり、○ずつ増えるのが掛け算だと
教え込む。暗記する。反射で答えが出てくるようにする。を徹底
しているわけです。
逆でもいいはこの仕組を無視しています。
児童が九九を完全に身に付けていれば、この問題、まず
浮かぶのはなんの段かなんです。そうなるように問題ができている
と言っていいのです。だから、暗黙の裡にこのテストでは○段が
使えているかを問う形になっている。
そして、○段という考え方は割り算の初期においても利用すること
になっています。だから、日本では○ずつ分けるとが最初の問題で
○倍ですかが後から教えることになってます。
1回で○本という考え方は<倍>を使っています。
そして、一番の間違いは、人数を掛けているのではありません。
あくまでも本数と回数です。だから、単位を付けて(知っている
人もいると思うので正確には助数詞です。単位ではありません。)
立式させれば皆さんもご満足の結果になります。
6本✕8人分 8本✕6回分 どちらも正解です。
でも、待ってください。これ、真面目に2年生でその違いや意味に
ついて教える気ですか?絶対、混乱するとおもいませんか。
間違っていると判定されたことが中心になっているけれど
本来はどう教えるかの問題で、皆さんは大人の頭で考えすぎです。
子供は結局、九九しか使ってません。だから、なぜ、誤りなのか
答えられないのです。なぜなら、難しい段を逆にして簡単な段で
頭の中で計算して答えを出している子だからです。
だから、順番が逆でも答えは同じなのにばつなんだ。という感想しか出てこないのです。決して、嫌先生、これはね。という説明を
してくる子に…出会ったことがありません。大人はいくらでも
いますよ。つまり、この問題の根本は、子供がどう考えて解いたかを無視して答えが合っているか、間違っているかに焦点を当てる大人の問題です。子供の思考を吟味することなしに結局、いい、悪いは決められません。しかし、この問題で発言しているのは大人ばかりです。

特命

鉛筆の合計は人数と1人当たりの本数に複比例します。なぜ「人数は変えられる。1人当たりの本数は変えられない定数である。」などと考えるのか、甚だ疑問です。物理学の式の方では"全ての変数"と言ってますよね。
1キログラムの物を1メートル動かしたときに必要な力を1ニュートンとするという定義は無いので、力と質量から動いた距離を割り出すことはできません。力は質量と"加速度"の積であり、ニュートンはkg・m/秒^2を意味する組立単位です。ニュートンの運動方程式は力学の一番の基本ですよ。
「答えが出ればOK」とは言ってません。寧ろ、順序固定の方が「解答欄の式の部分が結果として特定の順序になってさえいれば考え方は問わない」と言ってるように見えます。文章を読まずに答えを同じ単位を先にしてもマルなんでしょう?アレイ図やトランプ配りで考えても、順序が逆だとバツになるんでしょう?
あなたは2年で交換法則を習わなかったのでしょうか。あるいは、式の意味とかは教わらずに「数式だと、偶々同じになる」と習ったのでしょうか。一方では「式には意味がある」と言い、一方では「意味について教える気ですか」と言うのはダブスタでしょう。
あと、いつまでも導入時の教え方に拘ると、割り算の後半とかで躓きますよ。
自分の正しさを言葉に変換して説明するだけの国語力も、教える立場にある先生より幼い自分の方が正しいと思えるだけの自信も、は2年生にはなかなかありません。

ななし

元の投稿がかなり古いものですが

「教師も学習指導要領に基づいて指導採点を行っているし、
それを元に模試問題等が作られている以上そう教えざるを得ないだろう」というのが正直な感想です。

ベネッセガーとかキョウシノレベルガーとか言われても公務員である以上、
個人の判断で採点基準を変えることはできないでしょう。

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